《学习策略与思维方法》讲座第七讲向你推荐替换分析法

第七讲

向你推荐替换分析法

替换分析法是笔者在40余年的数学、物理教学中，运用数学思维处理物理问题的一种解题分析方法。运用这一方法，方便于我们从纷繁复杂的物理情境中，正确地建立物理模型，迅速地确立解题的基本公式（即找准解答问题的突破口），并快捷寻得解题的具体途径和求解的结果。而且，替换分析法的表述式（简称替换分析式），能直观而简洁地表现出解题的思路，还能极其方便地换写成解题的一般表述形式。

替换分析法不仅可应用于解答物理问题，而且也可用于其它学科有关问题的解题分析。

一、替换分析法的基本思想。

任何一个问题所涉及的各个量中，总分三类：已知的，未知但为所求的，未知但非所求的。已知的为已知量，未知但为所求的称所求量，未知但非所求的为称不求量。解题就是要依据符合问题规定情境（条件）的有关规律（公式、法则），运用已知量，化去不求量，求出所求量。数学方程论告诉我们：一个方程只能求一个未知量，通常n个方程构成的方程组也只能求n个未知量。其中超量的不求量必须化去，化去的方法总是进行这样的替换，用含已知量、所求量的解析式替换不求量，使原方程得以变形。而这种量的替换通常要进行到所得方程的个数与未知量的个数相等为止，则此方程或方程组可解，即其中所求未知量可以求出。

替换分析法就是通过这种量的替换来寻求解题的具体途径的一种解题分析方法。

二、替换分析法的操作步骤。

利用替换分析法解物理问题，一般可分两步进行：

（1）根据题所提供的物理情境（条件），建立物理模型，恰当地选择物体或物体系，并根据其所处的物理状态或物理过程，优选一个（或几个）物理公式作为解题的基本公式。

为了解题的简捷，选作解题的基本公式不仅要满足题给的物理情境，还应满足如下条件：①尽可能含所求量；②尽可能多含已知量；③尽可能少含不求量。

如果所选的某个基本公式只含一个所求量，其余均为已知量，不含任何不求量，则此基本公式是关于所求量的一元方程，可直接求出相应所求量，故此公式为解此题的最佳基本公式。若解题的基本公式不是最佳的，则应进行下述有关不求量的替换。

（2）对解题的基本公式中的不求量进行分析替换，使之成为关于所求量的可解方程或可解方程组。分析替换的原则是，用含已知量和所求量的解析式替换不求量，这种替换要一直进行到解题的基本公式中只含已知量和所求量，不再含不求量。或者在选取的n个物理公式中，经过对不求量的不断分析替换，使之成为包括所求量在内共含n个未知量的n元方程组，这样就可求出相应的所求量(特殊情况下，在n个方程构成的方程组里，可以求出多于n个未知量中的某些所求量)。

容易看出：若所选取的解题基本公式不同，或者所进行的不求量的分析替换不同，则表现为不同的解法。若对解题基本公式所进行的不求量替换次数不同，则解法的繁简不同。次数越少的越简洁，越多的越繁杂。解题的目标是迅速获得含所求量的一元方程或n个方程组成的n元方程组，而优化解题的关键在优选解题的基本公式和减少分析替换的次数，也即优选解题突破口和优选解题路径。

三、替换分析式的书写格式。

为了合理而简洁地表现出替换分析法在应用解题时的具体路径或思路，我们规定了下述两种书写格式，并称为替换分析式。

(1)对于只需一个基本关系式求解的问题，采用如下格式：

在替换分析式的前面，我们要求写明所选的研究对象、对象所处的状态或过程以及所选基本关系式的依据；在替换分析式中，我们规定要在解题的基本公式外加方框，且对关系式中的所求量加圈；对不求量加转折箭头符号，然后进行分析替换。

为了使替换分析式在最后整理时简便，对于已分析替换的不求量和可消去的量，可都用细线划掉。

这里，除按规定所求量要加圈外，对没有替换的不求量要加下划线。但对同一个未知量（包括所求量和不求量）只需一个加圈或下划线。当未知量（加圈的所求量和加下划线的不求量）的总数跟关系式（方程）的个数相等时，方程组可解，即所求量可求得。

四、替换分析法举例

（见第八讲）

五、替换分析式换写成解题的一般表述形式的方法

要把替换分析式换写成解题的一般表述形式，十分容易，通常只要在基本关系式之后，加个“又”字，然后将凡是带有转折箭头的不求量的替换式按先后顺序填上，最后将推导符号改写为“推得：”，并填上其后的内容（所求量的显函数表达式，代入数据，求出结果）即可。

以例7的解法为例（见第八讲）：

用替换分析式是：

解：以两杆作系统，用整体法，由平衡条件有：

换写成一般表述形式：

解：以两杆作系统，用整体法，由平衡条件有：

ΣF=0

又ΣF=Mg-(mg+2F)

F=BIL

I=2BLv/2R

推得：-------（答）

六、替换分析法应用的意义

替换分析法作为一种解题分析方法，吸收了数学化归的思想，使解题趋向有序化。掌握这个方法，不仅有利于学生理清思路，培养学生的逻辑思维，提高学生的解题能力，而且它使解题程序化，有助于实现计算机智能解题。变换分析式以极其简洁的形式，表达了替换分析法解题的思路。一般用于在作解题分析时写在草稿纸上，或写在书中相关习题附近的空隙里。替换分析式并非不能登大雅之堂，只要老师认可，也完全可以写进作业本中取代解题的一般的表述形式，甚至也可以写进教科书。笔者在近十余年的教学中，无论课堂练习还是课外作业，我都只要求学生能写出解题的替换分析式即可。有时还不要求计算结果，只要分析到“可解”为止（见第八讲）。这样，既能为学生节省大量的解题书写和计算时间，去多做题，以提高练习的效率，更重要的是，学生物理学习的主要困难大多是解题分析的能力差，而不在解题书写和计算上。因此，必须把精力用在刀刃上，集中时间于培养学生分析问题的解决问题的能力上。实践证明，替换分析法的推广应用，对教学质量的提高，效果是十分显著的。