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　　沈翔老师，从业13年载，累计学员人数已经超过三万余名;曾在西南政法大学、重庆理工大学、四川外国语学院、重庆大学、西南大学等多所高校任教;现为重庆西南大学创富计算机二级培训学校负责人。

　　沈翔老师的文章，认真拜读，精心收藏!

　　吴文俊大师毕业于交通大学数学系，1949年，获法国斯特拉斯堡大学博士学位;1956年，获首届国家自然科学一等奖，1957年，当选为中国科学院学部委员(院士);1991年，当选第三世界科学院院士;2001年2月，获2000年度国家最高科学技术奖。计算机二级网上学习网站

　　2017年5月7日吴文俊大师不幸逝世，享年98岁。大师不仅留下了许多数学学术成就，还有许多学术思想同样值得后人认真学习体会，本期引用大师的论述主要来自于中国科学院数学机械化重点实验室官网和“慎重地改革数学教育”一文(《数学教育学报》(第18卷第2期)。计算机二级网上学习网站

　　一、计算机与数学

　　“对于数学未来的发展具有决定性影响的一个不可估量的方面是计算机对数学带来的冲击，在不久的将来，电子计算机之于数学家，势将如显微镜之于生物学家，望远镜之于天文学家那样不可或缺。”

　　吴文俊说：“我要用数学机械化来征服世界。工业革命解放了生产力，因为机械化解放了体力劳动。数学是一种脑力劳动，我希望数学机械化能让重复性的脑力劳动得到解放，让人们去做更多创造性的工作。”

　　实现脑力劳动机械化，是吴文俊的理想和追求。他说：“工业时代，主要是体力劳动的机械化，现在是计算机时代，脑力劳动机械化可以提到议事日程上来，数学研究机械化是脑力劳动机械化的起点，因为数学表达非常精确严密，叙述简明。我们要打开这个局面。”

　　“华先生(笔者注：指华罗庚先生)对中国的数学大有贡献。早期，搞数学的人看不上计算机，他很早就看到计算机的重要作用和对数学研究的重要性，这很了不起。”计算机二级网上学习网站

　　“中国人用机械证明定理，全世界都认可。以前认为，计算机只能用于计算，现在还能用于证明，计算机的作用就更大了。”

　　吴先生认为显微镜之于生物学家是工具，望远镜之于天文学家是工具，计算机之于数学家同样是工具，那么计算机之于数学教育不可以是工具?直到今天许多数学课堂上仍是一支笔一块黑板，要扪心自问当前数学教育跟上了时代的步伐了吗?

　　吴先生谈数学教育时说“这个问题就复杂了。教育是非常重要的，搞得不适当是要闯大祸的，贻误子孙。需要经过充分讨论来解决，不能凭一个人的主观愿望来下结论。”，所以目前看到先生完整论述数学教育的文章只有“慎重地改革数学教育”一文，但这篇文章中还是对数学教育改革提出了许多精辟见解。

　　数学教育中提倡创新能力的培养，要做到这一点，就必须将学生从“重复性的脑力劳动得到解放”，否则只是空谈。如何“解放出来”，使用工具是必由之路，现在，信息化技术就是最佳工具。

　　二、数学公理化与数学机械化

　　欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，完成了数学史上的重要著作《几何原本》，其内容和思想方法对科学的发展发挥了巨大作用，如牛顿名著《自然哲学的数学原理》就是力图公理化方法来架构的，徐光启翻译的《几何原本》使公理化思想在我国得以广泛传播，他认为“此书有四不必:不必疑、不必揣、不必试、不必改;有四不可得:欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”计算机二级网上学习网站

　　在东方文化背景下，我国近代欧氏几何的教育教学对学习者理性精神的培养功不可没，但在数学教育中，把公理化思想推到极致，排斥其他一切时，负面作用也显现出来。

　　吴先生说“我比较喜欢几何。这里先谈谈中学几何课程的改革.我常常听到一些意见，认为中学的几何必须是一个公理系统，我不赞成。中国古代的几何学，没有公理体系，但是有原理，例如出入相补原理，等等。中学几何课上，讲公理不如讲原理。例如三角形全等的条件，就是一个原理。我们选择若干个原理，将几何内容串起来，比公理系统要好。一部经典力学，就是从牛顿三大定律(三个原理)推演出来的。也有人认为，从原理出发不严格，使用公理体系才能做到严密，这是在唬人、骗人，中学几何课程根本做不到希尔伯特《几何基础》那样的严格性。欧几里得《几何原本》里的公理体系也是不严格的，我们没有必要去追求这种公理系统的严密性。计算机二级网上学习网站

　　当然，我决不是否认逻辑推理的重要性。一旦把几个重要的原理确定下来，我们还是要一步一步地严格论证，从原理出发，推出那些儿何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。”

　　吴先生分析到：“西方体系的目标是因果论证，我们古代数学的目标是解决各式各样的具体问题。现在我们学习西方数学的特色是公理化，我们古代数学的特色可以叫做机械化。我们为了解决各式各样的问题，引进各式各样的算法，我们古代的数学可以说是一种算法的数学。美国一位计算机数学大师说，计算机数学即是算法的数学，在这种意义之下，中国的古代数学是一种算法的数学，也就是一种计算机的数学。在我们进入到计算机时代，这种计算机数学或者是算法性的数学，刚巧是符合我们时代的要求，符合时代的精神。所以从这个意义上来讲，我们最古老的数学也是计算机时代最适合、最现代化的数学。”

　　吴先生提出“数学机械化”思想：数学问题的机械化，就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。即所谓的机械化就是刻板化和规格化。

　　传统欧氏几何中一个定理的证明，求证者往往要经过冥思苦想，奇巧构思，无章可循地填加辅助线(面、体)，迂回曲折地给出证明，一些人浸润于此，享受苦思冥想的乐趣，感受成功的快乐，但有些人则被挡于门外，痛苦地无法亲近几何，成为憎恨“欧氏”的一群人。计算机二级网上学习网站

　　吴先生在初等几何中证明中数学机械化，就是在证明过程中，每前进一步，都有章可循地确定下一步该做什么和如何做。从“一理一证”到“一类一证”，是数学的认识和实践的飞跃。

　　笔者以为：数学公理化思想下的初等几何问题解决，其途径是万般变幻的“万花筒”，令人眩目而难以把握。数学机械化思想下的初等几何问题解决，其途径是有规律可循，高效又刻板。这两种思想方法互补才能相得益彰，让不同认知风格和认识能力的人们都能领悟数学的风采。计算机二级网上学习网站

　　三、数学建模与技术手段

　　吴先生研究东方数学后指出“我们说东方的数学有一定的思考方法，是有计划、有步骤、有思想地进行的。具体地讲，可以说东方的数学也就是中国的古代数学，是从问题出发，它有一个基本的模式，这个模式可以说是从实际问题出发，然后形成一些新的概念，产生一些新的方法，再提高到理论上，建立一般的原理，而不是某些公理，就像牛顿有关的定理，用这样的原理解决形形色色更复杂、更重要、更艰深的实际问题，这样数学就不断地上升，不断的发展，这就是古代数学发展的大体上的理论体系。”计算机二级网上学习网站

　　所以先生认为“数学要有助于解决实际问题，这应该是主要目的之一，不是什么抽象理论。”

　　对于数学教育，吴先生指出“不论是几何，还是代数，都要讲推理。你在解方程时，把一个方程化成另一个方程，就要讲“同解”的道理。使用一种算法解问题，也要论证其合理性.任何数学都要讲究逻辑推理，但这只是问题的一方面。更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其它学科中出现的数学问题。学校里给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案，这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法。但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。”

　　包括吴先生在内的许多有识之士都呼吁加强解决实际问题的教学，国际经合组织(OECD)的PISA主测试题均为实际情境题，但我国当前数学教育对此仍然重视不够，除了观念以外，一个重要原因是现实问题的复杂性，在建立数学模型时可能涉及大量数据处理，传统数学课程中根本没有介绍这样的数学知识。而现代信息技术为大数据处理提供了有力支撑，为什么相关内容还不能进入中学数学课程呢?计算机二级网上学习网站

　　首先是观念问题。一些教育工作者总认为学生人脑思考出来的是可接受的，而电脑辅助人脑出来的是不可接受的，认为在这个过程中一切总应“清清楚楚”，不能有“灰箱”，更不能有“黑箱”。

　　其次是复合能力问题。当前的数学教育工作者基本是传统数学教育培养出来的，对于“数学+教育+技术”，“技术”这一环节基本上没有系统地训练培养过，加上“技术”发展迅猛，需要在职期间不断学习，能力的不足和自学的难度就显现出来，可以说，在职数学教师关于专业性的数学教育教学软件培训工作做的很不够。

　　历史潮流浩浩荡荡，就基础阶段的数学教育而言，加强学生建模能力的培养，重视信息技术在数学教与学两方面的运用，这两个大方向是不会错的，只是一些人敢于立于潮头，成为弄潮儿，一些人能顺应潮流，跟上前进的步伐，还有一些人可能无法适应信息时代的要求，落伍于社会的发展。计算机二级网上学习网站

　　四、传统解法与技术解法

　　17世纪，伟大的哲学家、数学家笛卡尔曾设想：“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。”他所创立的解析几何在图形和数量关系间架起一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化。

　　上世纪50年代，H·格兰特首先就开始研究几何定理自动推理，想让计算机来完成几何证明。但西方数学家沿数理逻辑方法的道路，20多年来该领域一直处于茫然之中，进展甚微。然而，自1977年吴文俊发明了几何代数化的“定理证明”方法，则完全扭转了这一被动局面，使几何定理自动推理从一个不太成功的领域，一跃成为最成功的领域之一。国际数学界甚至认为，几何机器证明的研究可以截然地分为：前吴时期与后吴时期。他的方法被称为“吴方法”。计算机二级网上学习网站

　　以初等(平面)几何学为例，所谓“吴方法”实质上就是“方程联立求证法”。

　　吴方法的第一步：实现“代数化”，即建立坐标系，把问题条件全部翻译成“代数方程式”(事项即“前提条件”)，然后，把需要证明的事实也翻译成“代数方程式”(有待证明的事项)。

　　吴方法的第二步：方程联立求证。把前提条件(方程组)与待证明的方程“联立求解”，如果待证明的“方程”经过自动联立求解过程，变为一个恒等式，那么，这个恒等式就表示“所有前提条件”满足待证的“结论”，所以，定理得到证明，否则，问题无解。计算机二级网上学习网站

　　中国科学院数学机械化重点实验室官网提供了相应的软件可下载。

　　没有考证Geogebra是否基于“吴方法”，或许这并不重要，重要的是两者都是将代数与几何密切联系，吴先生指出“由于电子计算机的出现，解析几何的重要性在增加，中学里结合解析几何方法学习平面几何，也许值得作进一步研究。”所以，在Geogebra环境下，没有必要严格区分欧氏几何与解析几何，对于平面图形而言，统一为“平面几何”名目下，对于空间图形而言，统一为“空间几何”名目下，定性和定量的研究只是对几何对象不同角度的反映，而在Geogebra环境下它们又是密不可分的统一体。

　　吴先生指出“中学里‘对数’的地位似乎应当重新估计。过去学对数主要是为了查对数表以便简化计算.现在有了计算器，对数的这一功能已被取代了。至于对数函数，那恐怕还是要的。”计算机二级网上学习网站

　　这里可以看出先生认为繁杂的计算可以用技术手段来解决，相应的传统内容就没有必要了，那么，那么如代数式运算等繁杂的运算可不可以用技术手段解决呢?先生已逝，对于数学教育的问题解决没有留下更多的论述，我们不要固步自封，更多地尝试数学问题的技术解法，如在某些范围内运用Geogebra解法解决数学问题，将其思路与方法加以提炼、分析和比较，与技术手段的演示功能一道，开创出一条数学教育新路。

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